FUNCIONES

REPASAMOS: 

Sistema de coordenadas. Coordenadas cartesianas.

Mira el siguiente video

Calcular las coordenadas de un punto.

Los puntos se designan por letras mayúsculas P, Q, R.., seguidas de sus coordenadas escritas entre paréntesis P(x,y). Cuando una de las coordenadas es 0, es debido a que está en uno de los ejes. Por Ejemplo:
 El punto A(0,0) está en el centro de coordenadas, el punto B(3, 0) está en el eje X (puesto que el valor del punto en el eje Y sería 0). Y el punto C(0, -4) está en el eje Y (puesto que el valor del punto en el eje X sería 0).

En el siguiente video se explica cómo dibujar las coordenadas de un punto en el sistema de coordenadas:

Recordamos los intervalos:

Concepto de función

Concepto de función Variable independiente y variable dependiente.

Una función es una relación entre dos magnitudes que asocia a cada valor de una magnitud un único valor de otra magnitud.

En una función, siempre una magnitud depende de la otra,  la llamamos variable dependiente, y a la otra magnitud la llamamos variable independiente. Normalmente X es la independiente e Y la independiente. y se obtiene a partir de los valores que se le van dando a x.

Podemos ver una función como una máquina que transforma los elementos de una magnitud en otra. 

Ejemplo 1: En la siguiente máquina transformamos un número en su siguiente. x --> x+1

-Para ver que y=f(x) es una función:

     1º Tenemos que ver la relación entre las dos magnitudes, en este caso, y=x+1, es decir, y es el siguiente de x.

  2º Tenemos que ver que a cada valor de la primera magnitud (independiente) le corresponde un único valor de la segunda (dependiente), es decir, que a los valores que toma la x, le corresponde sólo un valor de la y (si nos fijamos en la tabla, se verifica para todos los valores).

   Por tanto, y=x+1, es una función.

Ejemplo 2: Una entrada de cine cuesta 8€. Estudia si la relación entre el nº de entradas que se compran y el coste total, ¿Esta relación es una función?

1º Si se compra 1, se paga 8·1=8 €

     Si se compran 2, se paga 8·2=16 €

     Si se compran 3, se paga 8·3=24 €

    ....

   Esto me permite obtener la siguiente tabla de valores:

(1,8), (2,16); (3,24),...

2º A  cada valor de la primera (nº de entradas), le corresponde un único valor de la segunda (Coste total).

Por tanto es función, la variable independiente es x = nº de entradas, 

                                       y la independiente Y=Coste total

La función que la genera sería y=8·x, puesto que para calcular el coste total multiplico 8 por el nº de entradas.

La tabla de valores sería:

x               1      2      3

y =8·x     8    16    24

Ejemplo 3: ¿La relación que a cada nº natural le hace corresponder sus divisores es una función?
La primera magnitud/variable toma los valores 1, 2, 3, 4...(números naturales).
La segunda variable toma los valores en función de la primera, pero, a cada valor de la primera no siempre le corresponde un único valor de la segunda.
Al 1 le corresponde el valor 1, que es su único divisor.
Pero al 2 le corresponden dos valores el 1 y el 2. Por tanto no puede ser función.

En los siguientes videos tiene más ejemplos:

FORMAS DE EXPRESAR UNA FUNCIÓN: Enunciado, fórmula o ecuación, tabla de valores, gráfica.

Una función puede venir definida o dada de distintas formas. aprenderemos a reconocerlas y pasar de una forma a otra.

CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN
Es importante conocer y saber cómo calcular las características de una función porque estos datos nos facilitará su representación gráfica e interpretación.

1. DOMINIO Y RECORRIDO.

Para calcular el DOMINIO, tenemos que ver los valores de la variable INDEPENDIENTE, x. Y preguntarnos en qué puntos está definida la función. Por ejemplo, si el enunciado dice que x=nº unidades, está claro que x sólo puede tomar los valores 1, 2, 3,..  es decir números naturales, entonces decimos DOM(f)=N

Si el enunciado dice el peso, la distancia, etc. Está claro que x sólo puede tomar valores positivos pero admite decimales, por lo que coincidiría con los números reales positivos se pone R+; luego DOM(f)=R+

Si lo que nos da es una gráfica, es más sencillo todavía, basta con fijarnos en la forma de la gráfica, y pensar en la "SOMBRA" que deja sobre el EJE DE LAS X. El recorrido será todos los puntos que estén en esa sombra. Si aparece una flecha <-- mirando a la izquierda, indica que parte de menos infinito, si hay otra flecha mirando a la derecha, indica que termina en más infinito.

Si aparece un círculo blanco, indica que ese punto no está incluido, es decir, indica que tenemos un intervalo abierto, del tipo (2,3] o (2,3) en caso de que sean dos círculos blancos.

Si en la izquierda 

Para calcular el RECORRIDO o IMAGEN o RANGO, tenemos que calcular todos los puntos del dominio para la función f(x). Y ver cuál es el menor y cuál el mayor. esto nos dará el intervalo del recorrido.

Gráficamente, haremos como en el caso anterior, pero esta vez nos imagInaremos la "sombra" en el eje Y.

2. CONTINUIDAD

Para estudiar la continuidad de una función en un intervalo basta ver si se puede dibujar, en ese intervalo, sin levantar el lápiz del papel (es decir de un sólo trazo).
En los puntos donde hay saltos decimos que hay un punto de discontinuidad, y este puede ser de 3 tipos:
-Discontinuidad evitable (si f(x) toma valores muy cercanos tanto a la derecha como a la izquierda del punto)
-Discontinuidad no evitable (si f(x) toma valores separados tanto a la derecha como a la izquierda del punto)

3. PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES

Los puntos de corte con los ejes de una función son los puntos de intersección de la gráfica con ambos ejes coordenados. Se pueden resolver tanto gráficamente como con la expresión algebraica:
Con el eje X, estos puntos son de la forma (a,0); el valor de a se calcula resolviendo la ecuación f(x)=0.
Con el eje Y, estos puntos son de la forma (0, b); el valor de b coincide con f(0); b=f(0).
Ejemplo de resolución gráfica:

Ejemplo de resolución algebraica.


4. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. MÁXIMOS Y MÍNIMOS.
Cuando estudiamos si una función es creciente, decreciente o constante tenemos que dar los puntos en los que se cumple en forma de intervalo tomando los puntos de X. Si lo hacemos correctamente, la unión de todos esos intervalos nos dará el Dominio de la función.

Cuando se nos pide los extremos absolutos y relativos indicaremos las COORDENADAS de los puntos donde aparecen esos extremos.

 Ejejemlp

5. PERIODICIDAD

Una función es periódica si su gráfica se repite cada cierto intervalo, llamado periodo, y designado por T.
Se cumple que: f(x)=f(x+T)=f(x+2T)=..
Normalmente en las funciones periódicas se pide el valor del periodo, éste se calcula viendo la distancia entre un punto del eje X y otro punto del eje X en el que se repita la estructura.
Una vez conocido el periodo se puede calcular cualquier valor de la función conociendo sólo una parte de ésta.

6. SIMETRÍA 

Decimos que una función es simétrica respecto del eje Y, o función par, cuando f(-x)=f(x)

Decimos que una función es simétrica respecto del origen de coordenadas (0,0), o función impar, cuando f(-x)=-f(x)

Para estudiar la simetría de una función se calcula f(-x) y se compara con f(x), si coinciden decimos que f es simétrica par, si son valores opuestos que es simétrica impar, y si no coinciden decimos que no existe simetría.

Ejemplo:

libro ANAYA
Adaptación curricular ANAYA

Ejercicios de repaso

otros ejercicios

funciones de proporcionalidad SM