Funciones y gráficas

Sistema de coordenadas. Coordenadas cartesianas.

Mira el siguiente video


Contesta:

1. ¿Quién diseñó el sistema de los ejes de coordenadas?
2. ¿Cómo se llaman los ejes que componen los ejes de coordenadas y qué letra los representan?
3. ¿Cómo se llama el punto donde se cortan?
4. Dibuja un eje de coordenadas e indica el nombre de cada una de las partes en las que queda dividido.
5. ¿Qué indica la coordenada x?¿Y la y?
6. ¿Cuáles son las coordenadas de la casa de Troncho y Poncho respecto de la comisaría de policía?
7. ¿Y los zombies?
8. ¿Qué unidad de medida usan?
9. En la segunda gráfica se ve la relación entre dos magnitudes: Tiempo y distancia. ¿Qué magnitud representa el eje de abscisas y cuál el eje de ordenadas.
10. La tercera gráfica representa el tiempo en horas y el nº de zombis. ¿Estas dos magnitudes tienen una relación de proporcionalidad directa o inversa?
11. En el video aparece la fórmula y=2x+4, que indica el nº de Zombies que habrá en función del tiempo.
12. Usando dicha fórmula explica.

          a) ¿Cuántos zombies habrá dentro de 10 horas (x=10)?
           b) ¿Cuántas horas habrán pasado cuando haya 40 zombies (y=40)?
14. ¿Cuál es la fórmula que nos dice el nº de zombies que habrá en función de las morcillas que se lanzan?¿Cuántas morcillas habrá que lanzar para acabar con todos los zombies?

Calcular las coordenadas de un punto.

Los puntos se designan por letras mayúsculas P, Q, R.., seguidas de sus coordenadas escritas entre paréntesis P(x, y). Cuando una de las coordenadas es 0, es debido a que está en uno de los ejes. Por Ejemplo:
 El punto A(0,0) está en el centro de coordenadas, el punto B(3, 0) está en el eje X (puesto que el valor del punto en el eje Y sería 0). Y el punto C(0, -4) está en el eje Y (puesto que el valor del punto en el eje X sería 0).

En el siguiente video se explica cómo dibujar las coordenadas de un punto en el sistema de coordenadas:

Ejercicio: Realiza las actividades que se te proponen en el video.

Concepto de función Variable independiente y variable dependiente.

Una función es una relación entre dos magnitudes que asocia a cada valor de una magnitud un único valor de otra magnitud.

En una función, siempre una magnitud depende de la otra,  la llamamos variable dependiente, y a la otra magnitud la llamamos variable independiente. Normalmente X es la independiente e Y la independiente. y se obtiene a partir de los valores que se le van dando a x.

Podemos ver una función como una máquina que transforma los elementos de una magnitud en otra. 

Ejemplo 1: En la siguiente máquina transformamos un número en su siguiente. x --> x+1

-Para ver que y=f(x) es una función:

     1º Tenemos que ver la relación entre las dos magnitudes, en este caso, y=x+1, es decir, y es el siguiente de x.

  2º Tenemos que ver que a cada valor de la primera magnitud (independiente) le corresponde un único valor de la segunda (dependiente), es decir, que a los valores que toma la x, le corresponde sólo un valor de la y (si nos fijamos en la tabla, se verifica para todos los valores).

   Por tanto, y=x+1, es una función.

Ejemplo 2: Una entrada de cine cuesta 8€. Estudia si la relación entre el nº de entradas que se compran y el coste total, ¿Esta relación es una función?

1º Si se compra 1, se paga 8·1=8 €

     Si se compran 2, se paga 8·2=16 €

     Si se compran 3, se paga 8·3=24 €

    ....

   Esto me permite obtener la siguiente tabla de valores:

(1,8), (2,16); (3,24),...

2º A  cada valor de la primera (nº de entradas), le corresponde un único valor de la segunda (Coste total).

Por tanto es función, la variable independiente es x = nº de entradas, 

                                       y la independiente Y=Coste total

La función que la genera sería y=8·x, puesto que para calcular el coste total multiplico 8 por el nº de entradas.

La tabla de valores sería:

x               1      2      3

y =8·x     8    16    24

Ejemplo 3: ¿La relación que a cada nº natural le hace corresponder sus divisores es una función?
La primera magnitud/variable toma los valores 1, 2, 3, 4...(números naturales).
La segunda variable toma los valores en función de la primera, pero, a cada valor de la primera no siempre le corresponde un único valor de la segunda.
Al 1 le corresponde el valor 1, que es su único divisor.
Pero al 2 le corresponden dos valores el 1 y el 2. Por tanto no puede ser función.

En los siguientes videos tiene más ejemplos:

FORMAS DE EXPRESAR UNA FUNCIÓN: Enunciado, fórmula o ecuación, tabla de valores, gráfica.

Una función puede venir definida o dada de distintas formas. aprenderemos a reconocerlas y pasar de una forma a otra.

1.- Mediante una frase o enunciado.

Un problema de álgebra, por ejemplo, que contenga una relación clara entre dos magnitudes. Tendrás que reconocer cuál corresponde a la variable dependiente y cuál a la independiente.

Ejemplo:

a) La edad de Pablo y su estatura.

Las dos magnitudes son edad y estatura. Como la estatura depende de la edad, la estatura se corresponde con la variable dependiente (y), y la edad con la independiente (x). Además, como a la edad le corresponde sólo un valor de estatura, la relación se corresponde con una función que a cada valor de edad le corresponde un único valor de estatura.

b) Laura quiere copiar a escala un cuadro, que tiene el doble de alto que de ancho.

Las dos magnitudes son alto y ancho, como el enunciado dice que tiene el doble de alto que de ancho, la variable independiente será “ancho”, y la dependiente “alto”. Es claro que a cada ancho le corresponde un único alto, por que debe ser el doble.

c) En un teatro cada entrada cuesta 15€.

Si quisiéramos saber cuánto dinero se ha recaudado un día. Las magnitudes serían: número de entradas vendidas y recaudación. Como según el nº de entradas vendidas (1, 2, 3, etc...)  la recaudación tiene un valor, tenemos que el nº de entradas vendidas es la variable independiente y que la recaudación se corresponde con la dependiente, además, a cada nº de entradas le corresponde una única recaudación.

2.- Por un conjunto de pares de valores (x, y) o tabla de valores.

En una tabla de valores, pondremos primero la magnitud independiente y después la dependiente.

3.- Mediante una expresión algebraica o fórmula y=f(x).

Es la más sencilla para relacionar los valores de dos magnitudes, x e y.

No siempre podemos obtener una fórmula como ocurre al caso de la edad de Pablo, en cambio en el caso del cuadro, tenemos que llamando x al ancho del cuadro e y al alto, la relación entre ambos es y=2x.

4.- Mediante una gráfica

En la gráfica se asocia cada eje con una magnitud, se asociará la variable independiente al eje de abscisas, X, y la variable dependiente al eje de ordenadas, Y. Es decir, Y depende de X.

Ejemplo:

a) La edad de Pablo la colocaremos en el eje de abscisas, y en el de ordenadas, la estatura.

PASAR DE UNA FORMA A OTRA:

EJERCICIOS INTERACTIVOS
-Completar tablas
-Relacionar un gráfico con su enunciado
-

INTERPRETAR FUNCIONES USANDO SU GRÁFICA:

a) ¿Qué magnitud representa la variable independiente?¿Y la dependiente?

b)¿Qué valores toma x?¿Y y?

c) Quién ganó? ¿En qué minuto? ¿Y con qué puntuación?                   --> coordenada(10,22)

d) ¿Cuándo empataron?
e) ¿Hubo algún equipo que no anotó puntos en algún momento dado?

a)¿Cuánto duró el recorrido?

b) ¿En qué momento llegaron a la cima?¿A qué altura estaban?

c) ¿Cuánto tardaron en bajar?

Así pues, Una gráfica o representación gráfica es una forma de representar unos datos en el plano, para poder estudiar la relación entre dos magnitudes. A esta relación entre las magnitudes es lo que llamamos función.
Por ejemplo: relación entre el tiempo en horas, y el recorrido en kilómetros realizado por ciclista. 

REPRESENTAR GRÁFICAMENTE UN ENUNCIADO

En los siguientes ejemplos puedes ver cómo representar gráficamente un enunciado:

TIPOS DE FUNCIONES

FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA

REPASAMOS

 LAS MATEMÁTICAS

¡Al abordaje!: Hundir la flota

Una batalla naval

¿Conoces el juego de los barquitos o, también llamado, hundir la flota. Se inventó durante la Primera Guerra Mundial (1914-1918) y se jugaba con lápiz y papel, pero no fue hasta 1967 que la compañía MB lo comercializó en la versión de tablero que todos conocemos.

Versión de juego de mesa de hundir la flota.

Tal es la fama de este juego que... ¡Hasta se ha hecho una película inspirada en él!: Battleship. Hay que reconocer que no es demasiado buena, pero no todos los juegos pueden presumir de ello.

Fotograma de la película Battleship (2012, Universal Pictures)

¿En qué consiste?

Pues muy fácil: para jugar a hundir la flota hacen falta dos jugadores. Cada uno de ellos dispondrá de dos hojas de coordenadas y una serie de naves que colocará en una de ellas, sin que se compañero vea sus posiciones. A continuación y por turnos, deberán disparar hacia los barcos de su contrincante indicando las coordenadas que creen que ocupan sus navíos y señalándolas en la segunda hoja de la que disponen. El jugador contrario responderá agua si no ha colocado ningún barco en las coordenadas mencionadas, tocado cuando el disparo ha alcanzado una parte de una de sus embarcaciones y hundido cuando el disparo alcanza la última parte de una embarcación y ésta es destruida.

La única condición a la hora de situar los barcos es que no deben colocarse en diagonal y, como ya esperaréis, gana quien consiga hundir la flota de su oponente.

¡Quiero jugar!

Genial, porque en la asignatura de Matemáticas vamos a trabajar con este juego en una de las sesiones, pero para hacerlo más interesante usaremos un sistema de coordenadas que también tiene números negativos. A continuación podéis echarle un vistazo a la plantilla de juego y sus instrucciones*.

Plantilla del juego hundir la flota usando el eje de coordenadas.
Se puede descargar en formato pdf AQUÍ

Indicaciones del juego hundir la flota con números negativos.