Funciones lineales y cuadráticas.

Este tema lo veréis mucho el curso que viene, es muy importante conocer las distintas ecuaciones de una recta, porque nos permitirá escribir su expresión algebraica según los datos que conozcamos.

1. FUNCIONES LINEALES

Las funciones lineales son las que tienen la expresión y=mx+n; su gráfica es una línea recta.

Si m=0; la expresión queda y=n, su gráfica es una paralela al eje de las X, que pasa por el punto y=n, en este caso decimos que es una función constante porque siempre toma el mismo valor para el eje Y.









SI n=0, la expresión queda y=mx; su gráfica pasa por el origen de coordenadas, y el valor de m indica la pendiente (su inclinación respecto al eje X), a estas funciones las llamamos de proporcionalidad directa, porque actúan de la misma forma con constante de proporcionalidad k=m.












Si m y n no son nulos, tenemos y=mx+n, llamaremos a m pendiente de la función y a n, ordenada en el origen. Si m>0, la gráfica será creciente Si m<0, la gráfica será decreciente
Además, la gráfica de la función pasa siempre por el punto (0,n), es decir n toma el valor de la ordenada en el origen.
En los ejemplos de la derecha tenemos dos funciones.
y=0,5x+2 que es creciente (m=0,5) y con ordenada en el origen n=2, por pasar por el punto (0,2).
y=-x+5; es decreciente (m=-1) o (0,5)












En resumen:

CÁLCULO DE LA PENDIENTE:

Cálculo de la ecuación de la recta:

Para poder escribir la ecuación de una recta usamos la forma estudiada en la parte anterior: y=mx+n a) Si la recta es paralela al eje de la x, m será 0 y n coincidirá con el punto de corte con el eje y; es decir (0,n) es un punto de la recta. b) Si m es distinto de 0 y la recta pasa por el origen de coordenadas. Cogemos un punto cualquiera de la gráfica. Por ejemplo, supongamos que tenemos el punto es (1,3), m se calcula de la forma m=3/2, luego su ecuación sería y=3/2 c)Si m es distinto de 0 y la recta NO pasa por el origen de coordenadas. Tomamos dos puntos (a1,b1) y (a2,b2) y calculamos m con la fórmula: m=(b2-b1)/(a2-a1). Para calcular n, basta sustituir un punto cualquiera de la gráfica en la ecuación y=mx+n.




Otras expresiones de ecuaciones de la recta. Representan a la misma recta pero usamos unas u otras según nos convenga.

Cálculo Ecuación punto pendiente:

Para aprender más:
DISTINTAS ECUACIONES DE LA RECTA (geogebra)

FUNCIONES CUADRÁTICAS

Las funciones cuadráticas son funciones cuya expresión es una ecuación de SEGUNDO GRADO, se pone 

Su gráfica es una curva llamada parábola, tiene forma de U (si a>0) o de U invertida (si a<0). Los elementos más importantes de su gráfica son:
-el eje de simetría (recta que divide a la parábola en dos partes simétricas), y su 
-VÉRTICE; el vértice es el extremo (máximo o mínimo) de la gráfica.
Para hallar el vértice tendremos que dar dos coordenadas V=(Xo,Yo), Para calcular dichas coordenadas usamos la expresión Xo=-b/2a. Esta expresión es importante que os la aprendáis, el curso que viene se usará mucho. La segunda coordenada Yo se calcula sustituyendo el valor de Xo en la ecuación de la función cuadrática. el eje de simetría siempre tendrá la expresión X=Xo

Sea la función cuadrática:


Para representar la parábola necesitamos

1º Calcular, su EJE DE SIMETRÍA;

2º Estudiar el valor de a (para saber la forma de la parábola);

a=-2 <0 --> Tiene forma de U invertida.

3º Calcular el vértice

4º Calcular los puntos de corte con los ejes.
Eje X (Sustituyendo en la expresión x=0):

Eje Y (Sustituyendo en la expresión y=0). Habría que igualar a cero la función y resolver una ecuación de 2º grado. Estos puntos son las raíces de la parábola (puntos donde se anula). Para determinar cuántas raíces tiene calculamos previamente su discriminante. Como sale mayor que cero, tiene dos railes, y por tanto dos puntos de corte con. los ejes.

 

5º tomar dos valores más (además del vértice), uno a la derecha del eje y otro a la izquierda.

Es decir si el vértice es el punto (-1,8), tomaremos los puntos x=-2; x=-1 y x=0

PARA APRENDER MÁS. Desarrollo de las funciones cuadráticas.
















Páginas 242, 243, 244, 245: Repasa los ejemplos y realiza las actividades: 1, 2, 5 acf(toma los puntos x=-1, 0, 1; no necesitas más)b(x=-3,0,3)e(x=-7,0,7), 7, 10abc, 12, 14, 16abc, 18.
PÁGINAS 246, 247, 248. 1º Repasa el ejemplo de la página 246 y realiza los ejercicios: 19, 20 2º Haz un esquema con las distintas ecuaciones de la recta: -Ecuación punto-pendiente. -Ecuación general. 3º Copia los ejemplos de la página 247. 4º Realiza los ejercicios 22 y 24.

--> Siguiendo el ejemplo 6 del libro (pág. 248)realiza el ejercicio 25 y 26.
--> Siguiendo los ejemplos de las páginas 250 y 251 realiza los ejercicios: 31, 32 y 34.