La palabra Geometría viene del griego geo, que significa "tierra", y metrein, que significa "medir", siendo la rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio.
La palabra perímetro proviene del latín perímetros, que se refiere al contorno de una superficie o de una figura y a la medida de ese contorno. De esta manera, el perímetro permite calcular la frontera de una superficie, por lo que en la antigüedad resultaba de gran utilidad, por ejemplo, para calcular la cantidad de material que se necesitaba para alambrar un campo. La palabra área, del latín arĕa, se refiere a un espacio de tierra que se encuentra comprendido entre ciertos límites.
El cálculo de áreas, también es muy antiguo, los egipcios lo utilizaron para pagar menos impuestos por sus terrenos cuando parte de éstos se inundaban debidos a la crecida del río Nilo, también lo utilizaron para calcular el fertilizante necesario, etc.
PERÍMETRO DE UN POLÍGONO
El perímetro de un polígono regular es la suma de las longitudes de sus lados:
Ejercicio tipo: Calcular el perímetro de un polígono.
-Si el polígono es regular (todos sus lados miden lo mismo), su cálculo es muy sencillo. Basta multiplicar el nº de lados por la longitud del lado.
-Si el polígono es irregular sumamos todos los lados. En el siguiente video tienes varios ejemplos:
LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA
La longitud de una circunferencia se calcula utilizando el nº "PI"
Longitud de un arco de circunferencia:
Como una circunferencia completa recorre 360º, si sólo queremos calcular la longitud de una parte de la circunferencia (de un arco con un ángulo determinado), basta multiplicar la longitud de la circunferencia por el ángulo y dividir entre 360º.
Ejercicio tipo: Calcula la longitud de un arco de circunferencia:
PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Ejercicio tipo: Calcular el área de una figura plana
Vais a aprender a programar utilizando una serie de juegos.
El primero que vamos a utilizar viene de la mano de studio.code.org.
El enlace para acceder lo tenéis en CLASSROOM.
Tendréis que crearos una cuenta para poder acceder y conforme vayáis pasando los niveles yo iré viendo vuestros progresos.
Trabajaréis sobre un curso llamado "Curso rápido".
Está en español y es muy sencillo de utilizar.
En cada uno de los juegos se irá incrementando la dificultad, partiréis de una sintaxis muy sencilla que poco a poco se irá complicando.
La interfaz es muy sencilla.
A la izquierda aparece la imagen del juego.
A la derecha, en la parte superior, se indica lo que tienes que hacer.
A la derecha, en la parte inferior, está la zona donde deberás introducir el código usando bloques. Esta forma de generar código ya la habéis utilizado cuando aprendisteis scratch por lo que os será familiar.
¿Cómo se evalúa?
Evaluaré varias cosas:
1º Vuestra capacidad para ir consiguiendo cada nivel, en tiempo que habéis tardado y los errores.
2º El nº de niveles que hayáis conseguido superar durante el tiempo establecido.
-Para ello se os dará un tope de niveles que deberéis superar para la nota máxima, si hacéis más, mejor, porque cada vez los plazos serán más cortos. -Será obligatorio, también que visualicéis los videos, pues en ellos se os dan pistas para superar los niveles.
3º Un documento de DOCS donde aparezca recogido toda la sintaxis que estáis aprendiendo, el documento tendrá la siguiente estructura, y deberéis mandármelo cada 15 días.
SINTAXIS
PROGRAMA: Studio.code.org
MoveForward();
Moverse un paso hacia adelante.
TurnRight();
Girar hacia la derecha.
Cada vez que aparezca una nueva sintaxis la vais añadiendo a la tabla explicando para qué se utiliza.
Para construir cualquier cuadrilátero necesitamos algunos datos de éstos según sus caracterísiticas. Según sus características necesitaremos mas o menos datos.
ALGUNOS DE VOSOTROS ME HABÉIS PREGUNTADO CÓMO DIBUJAR UN ROMBO CONOCIDOS SUS LADOS Y UN ÁNGULO, en este video se explica:
Construcción de un romboide conocidos sus diagonales y un lado.
Por ejemplo en los romboides al ser un paralelogramo (sus lados son paralelos 2 a 2), basta saber 3 datos, puede ser 2 lados y un ángulo, o 2 lados y una diagonal, o 2 diagonales y un lado, etc.
Construcción de un trapecio
En los trapecios, sólo dos lados son paralelos, necesitamos conocer 4 datos:
Si nos dan sus cuatro lados:
Si nos dan las dos bases y las dos diagonales:
Propiedades de los paralelogramos
En definitiva,
-La suma de sus ángulos es 360º
-Los lados opuestos son iguales.
-Los ángulos opuestos son iguales y los contiguos suplementarios (es decir su suma es 180º)
-Sus dos diagonales se cortan en su punto medio.
Utilizando estas propiedades podemos calcular todos los elementos de un paralelogramo conociendo sólo alguno de ellos.
Polígonos regulares. Elementos y propiedades.
Lado: Segmento de una línea poligonal cerrada.
Vértice: Punto común de dos lados consecutivos.
Centro: Punto que equidista de todos los vértices.
Diagonal: Segmento cuyos extremos son dos vértices no consecutivos.
Radio: Distancia entre el centro y un de los vértices.
Ángulo interior: ángulo formado por dos lados consecutivos.
Ángulo central: Ángulo formado por dos radios consecutivos.
Razón cordobesa o número cordobés:
es un valor constante que sale de dividir el radio de un octógono regular y la longitud de su lado. Su valor es aproximadamente K=r/l=1,3.
En el siguiente video se explica a manera de sacar el triángulo y el rectángulo del octógono.
Triángulo cordobés. Rectángulo cordobés. Aplicaciones y cálculo.
El triángulo cordobés es un triángulo ISÓSCELES cuyo ángulo desigual mide 45º. Además sus lados están en proporción cordobesa.
El rectángulo cordobés es un rectángulo cuya relación entre sus lados es la razón cordobesa.
a/b=1,3
Así pues para dibujar un triángulo cordobés basta conocer uno de los lados, el otro lado se calculará utilizando el número cordobés. Y el ángulo lo conocemos porque siempre es 45º y por lo tanto los otros dos son 67,5º
Para dibujar el rectángulo cordobés basta conocer uno de sus lados, el otro lado se calcula utilizando el número cordobés y haciendo una regla de 3.
-Si el lado conocido es el menor: Ejemplo: para b=5 --> a=5·1,3
-Si el lado conocido es el mayor: Ejemplo: para a=5 --> b= 5/1,3.
Circunferencia. Elementos:
Una circunferencia es una curva cerrada y plana cuyos puntos están situados a la misma distancia de otro punto llamado centro.
Ángulos de una circunferencia
Polígonos inscritos en una circunferencia. Construcción.
Método general:
Posiciones relativas de la circunferencia
Puntos:
P es un punto interior si está dentro de la circunferencia.
P es un punto de la circunferencia si pertenece a ésta.
P es un punto exterior si está fuera de la circunferencia.
Nota: Para estudiar la posición relativa entre un punto y una circunferencia basta comparar la distancia, d, del punto al centro de la circunferencia y compararla con el radio.
Si d>r --> el punto es exterior.
d=r --> el punto es perteneciente.
d<r --> el punto es interior.
Rectas:
Una recta es exterior a una circunferencia si la recta y la circunferencia no tienen ningún punto en común.
Una recta es tangente a una circunferencia si la corta en un único punto.
Una recta es secante a una circunferencia si la corta en dos puntos.
Nota: Para estudiar la posición relativa entre una recta y una circunferencia basta comparar la distancia, d, de la recta al centro de la circunferencia y compararla con el radio.
Si d>r --> la recta es exterior.
d=r --> la recta es tangente.
d<r --> la recta es secante.
Círculo
El círculo es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada, es decir, es la superficie del plano delimitada por una circunferencia.
En esta unidad trabajaremos el concepto de movimiento en el plano desde el punto de vista de las matemáticas, cualquier figura que nos encontremos en el plano podemos cambiarla de sitio (traslación), rotarla (giro). También podemos ampliarla o encogerla pero en este caso no sería un movimiento sino una homotecias o semejanza.
Además, si copiamos la misma figura "infinitas veces" y la vamos añadiendo al mismo plano en distintos sitios o posiciones obtendremos dibujos parecidos a los que aparecen en la Alhambra (simetrías, frisos y mosaicos)
Todos estos movimientos y semejanzas que vamos a trabajar se han utilizando mucho a lo largo de la historia sobre todo en arquitectura donde se buscaba la forma perfecta tanto en el interior como en el exterior de los edificios, tenemos muestra de ello en la Alhambra o en la Mezquita de Córdoba que pude visitar hace poco, justo antes de nuestra confinamiento...
Además, todos estos conocimientos nos permiten crear mapas y planos (escalas) donde poder copiar la realidad.
Actualmente, se utilizan en el diseño de videojuegos y en programas de realidad aumentada.
1.- VECTORES
Magnitud vectorial vs magnitud escalar:
Concepto de vector. Elementos y Coordenadas de un vector
EJERCICIO TIPO: ¿Cómo calcular las coordenadas de un vector?
EJERCICIO TIPO: ¿Cómo calcular el módulo de un vector conocidas sus coordenadas?
2.- MOVIMIENTOS EN EL PLANO
Comprender mejor las transformaciones geométricas:
3.- TRANSLACIONES Y GIROS
Traslaciones
Para realizar la traslación de una figura necesito un vector que indicará el sentido, longitud y dirección de dicha traslación.
En el ejemplo: Se va a trasladar un cuadrado utilizando el vector
(la flechita indica que es un vector y no un punto)
La primera coordenada indica un desplazamiento en horizontal y la segunda en vertical, así:
Las coordenadas del vector indican que se desplaza 2 pasos a la derecha (por ser positivo)
y 4 pasos hacia arriba (por ser positivo).
Si la primera coordenada fuera negativa se desplazaría a la izquierda
y si la segunda coordenada fuera negativa se desplazaría hacia abajo.
Por eso en la figura trasladada cada punto se desplaza dos pasos a la derecha y cuatro hacia arriba:
Giros:
Para poder realizar un giro de una figura geométrica necesitamos un punto de referencia llamado centro del giro y notado por O y un ángulo que indicará cómo debe ser el giro.
Podríamos girar la figura 90º, 180º, 45º, -90º, etc.
Para realizar el giro de cualquier figura consideramos primero girar los vértices de dicha figura y luego los uniremos para obtener la figura ya girada.
NOTA: Los giros pueden ser de ángulos positivos o negativos. Son negativos si van en el sentido horario y positivos al contrario.
Para girar los puntos:
1º Trazo una recta que pase por el punto.
2º Dibujo el ángulo de giro con centro en O sobre esa recta en el sentido que me pidan (positivo o negativo).
3º Con el compás con centro en O señalo la posición del punto en el ángulo de giro.
El ejemplo es un giro de -45 grados por ir en el sentido horario:
4.- SIMETRÍAS
Aquí tienes la aplicación geogebra para que puedas practicar y comprendas un poco mejor estos conceptos: enlace
5.- FRISOS Y MOSAICOS.
Un friso es la repetición de una figura siguiendo un movimiento que puede ser una traslación, una simetría o un giro.
Un mosaico se forma al llenar el plano sin dejar huecos con una misma figura, sin superponerla. Hay ejemplos muy claros en la Alhambra y en la geometría islámica.
GEOMETRÍA Y TESELAS:
Teselaciones de Escher
6.- HOMOTECIAS Y SEMEJANZAS
La homotecia es una transformación de una figura que la hace más grande o más chica de forma proporcional. Para poder realizarla necesitamos el centro 0 y la razón de la homotecia,k. Si k>1 la transformación hará la figura más grande, si 0<k<1, la transformación la hará más chica.
Figuras semejantes:
Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma (mismos ángulos) y sus lados son proporcionales.
Para estudiar si dos figuras son proporcionales debo de estudiar si los cocientes de los lados "análogos" coinciden, y a este valor lo llamamos razón de semejanza.
